例2.18

例2.18

题目

Q:设函数 连续,对任意的 . 关于下列两个结论:
①若 严格单调增加且有上界,则 存在, 也存在;
②若 严格单调减少且有下界,则 不一定存在, 一定存在.
正确的选项是 ( ).
(A) 仅①正确
(B) 仅②正确
(C) ①②都正确
(D) ①②都错误

分析

A:最好思考的方向应该是，设置一个单调增有上界的函数，手动模拟一个，然后再设置一些a1…an带进去具体的函数再看
但是一时之间，脑袋里面没有想到什么函数是这样的

• 01:10
  
  严格单增加有上界，这是右侧的顶端，而在0的左侧，有是越增加越小的，也就是所谓的增长是要看方向和起点的
  
  第二个的核心思想在于，数列是离散的，可以把它卡在某些点上面反复跳，而不影响作用法则在整个坐标轴上的表现

解

应选(D).
对于①,取 满足条件. 显然 .
令 ,则 ,数列 不收敛,① 错误.
对于②,取 ,满足条件. 显然 .
令 ,则 不存在,数列 不收敛,② 错误.
【注】(1) 解析中所取的两个反例说明了两种 发散的情形:
① ,如图 (a) 所示,由递推式, 在每次迭代后,都变为原来的 2 倍,最终趋于负无穷大, 发散, 这是单边发散问题.

(a)
② 不存在,如图 (b) 所示,由递推式, 在每次迭代后,都实现循环,其值在 1 与 -1 之间往复出现, 发散, 这是循环发散问题.

(b)
（2）对于 ,初值 会影响在此对应法则下的敛散性,故初值的选取有重要意义.