例2.30

例2.30

题目

Q:P85 已知数列 . 若 发散,则 ( ) .
(A) 发散
(B) 发散
(C) 发散
(D) 发散

分析

A:这是24年的数二真题
判定函数和数列之间，是不是一一对应的关系，这和例2.29里，那个sin的逻辑是一样的，就是函数本身对应多个自变量，这里的自变量也就是这个东西，如果存在多个对应，那么就不行了，也就是所谓的中间极限定理
发散，也就是自变量不同，如果也发散，也就是说，自变量不同，有没有可能也不同，在蓝色的地方往返（发散），但是的值是固定的高度（函数值唯一），也就是收敛了
01:31

当数列以某种解析式的组合出现时，比如这里题目中的，其实考察的是函数一一对应的映射关系，横轴的是数列的极限，它的唯一性，和收敛与否对应
纵轴，函数y的取值的和数列是息息相关的
和2012年数一数二的真题、2017年数二真题，2024年数二真题是一个考法

注意这里可以取逆否命题来简化问题，大前提是，如果函数中一个y对应一个x，或者说有反函数，那么发散，可以推出来有也发散

解

应选(D).
对于(D),令 ,则 ,故 为严格单调增加函数,故由复合函数极限定理二,若 存在,则 必存在,与 发散矛盾. 故 发散. 此题即解答完毕.
【注】至于反例,对于 (A),取 ,则 收敛到 . (A) 错误.
对于 (B),取 ,则 收敛到 0 . (B) 错误.
对于 ,取 ,则 收敛到 . (C) 错误. 在考场上无须举出.
事实上, 若不知此题考查的是复合函数极限的定理二, 考场上不一定举得出反例. 现在考研中的选择题, 一定要盯住目标, 明确任务, 而不能总想碰运气, 想排除法.