例1.23

例1.23

题目

Q:设函数 在 上单调、可导,且满足 ,其中 是 的反函数,求 的表达式.

分析

A:本质上是一个变限积分求导公式
同时涉及到一个反函数的结论
考虑两边求导可以消掉这个t

解

对题设等式两边求导, 有

又由 ,可得

两边积分, 有

即

又当 时, ,且 在 上单调、可导,故 ,即 . 故 ,
于是

Q:注意这里有一个反函数的基本性质，反函数原函数和x的关系
A:
还有一点要记住，原函数的值域和反函数的定义域是对偶的，两者可以交换
因为可能有时候，题目给的是原函数的定义域，但是我们某一步求到了反函数的值域，同时，我们通过这个值域，说明一些恒正恒负，或者单调性的一些性质时，需要直接拿出来原来的定义域使用