例1.13

题目

,则
(A) 不存在且为
(B) 存在且不为零
(C) 存在且为零
(D) 不存在且

分析

首先要想到去用定义
应该先求导,然后从定义的角度来看,和例1.12是类似的,但是这个不是考的变限积分求导公式,而是直接带入这个积分的式子用定义,需要我们自己先尝试这个特殊点,然后算极限
这个带绝对值的函数也是重要的考点,我经常错,对它一些性质认识不够
求某点的导数,要先看存不存在,也就是左右导数是否相等
下面是我当时做错了的记录
05:17 邂逅哥介绍了导数极限定理
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下面这又是这个变限积分,和间断点,判断得到说一定可导的那个知识点:由于,故可去间断点,可知处必可导,且

Misplaced &f'(0)& =\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ &=\lim_{x\to0}\frac{\int_{-1}^{x}\frac{\sin\mid t\mid}{\mid t\mid}\mathrm{d}t-\int_{-1}^{0}\frac{\sin\mid t\mid}{\mid t\mid}\mathrm{d}t}{x} \\ &\frac{\text{洛必达法则}}{\longrightarrow}\lim_{x\to0}\frac{\sin\mid x\mid}{\mid x\mid}=1\:. \end{aligned}$$ 所以应该选B <!--SR:!2025-04-15,1,230-->