例9.6 题目 题22：已知二次型 . (1) 求正交变换 将 化为标准形; (2) 证明: 分析 给系数矩阵做正交对角化，也就是Q是正交矩阵的相似对角化： 解 (1)【解】二次型 对应的矩阵为 由于 ,因此 的特征值为 . 当 时,解方程组 ,得 的特征向量 ,单位化得 ; 当 时,解方程组 ,得 的两个正交特征向量 ,单位化得 令 ,则 为正交矩阵,且 ,因此在正交变换 下,二次型 化为标准形 . （2）【证】由（1）知,在正交变换 下, 因此,当 时, ,令 ,得 ,故 .
