例9.4

例9.4

题目

Q:P142 设二次型 经正交变换 化为二次型 ,其中
(1) 求 的值;
(2) 求正交矩阵 .

分析

A:正交变换进行的转换，既合同又相似，这里的变换手段Q通过相似于同一个对角矩阵来达成等号上的关联，这叫正交对角化
注意读题，这里x和y的系数只是交换了一下，数据有特殊性

解

【解】(1) 由题意知,二次型 与 的矩阵分别为

由于 为正交矩阵,且 ,于是 与 相似,因此 ,即

又 ,解得 .
（2）由于 ,因此矩阵 的特征值均为 .
矩阵 的属于特征值 的单位特征向量为 ;
矩阵 的属于特征值 的单位特征向量为 .
令 ,则 为正交矩阵,且 .
由 (1) 知 .
矩阵 的属于特征值 的单位特征向量为 ;
矩阵 的属于特征值 的单位特征向量为 .
令 ,则 为正交矩阵,且 .
由

为所求矩阵.于 ,所以 ,故

为所求矩阵.