例8.4

例8.4

题目

P123 设矩阵 可相似对角化.
方程组 (I) ,
(II) ,当方程组 (I), (II) 均有非零解时,
证明: 方程组 (I), (II) 同解.

分析

同解方程组验证两秩相等，同时解代入两者都成立，不要怕直接强行往里面代

解

①方程组 (II) 的解 为 (I) 的解.
由 ,可得 .
② .
因为矩阵 可相似对角化,所以存在可逆矩阵 ,使得 ,即 ,于是

故 .
综上, 方程组 ( I ), ( II ) 同解.