例3.21

例3.21

题目

Q:P64 设 .
(1) 求可逆矩阵 ,使得
(2) 是否存在 3 阶矩阵 ,使得 ? 若存在,求出 ; 若不存在,说明理由.

分析

A:关键是把矩阵方程写成多个线性方程组的形式，其中一个齐次线性方程组，两个非齐次线性方程组
这三个方程，并最终确定 的值。
1. 求解
这个方程代表的是寻找矩阵 的零空间, 即所有线性变换后为零向量的向量集合。

• 首先，我们将 写成矩阵形式:

• 通过观察矩阵 , 我们可以直接看出：
• 从第二个等式，我们得到 。将其代入第一个等式, 得到 。而 可以是任意值。
• 因此， 的通解为：

为了方便, 我们选择 , 则 。
2. 求解

• 将已知的 和 代入方程, 得到:

• 这等价于求解以下方程组:
• 从第二个等式，我们得到 。将其代入第一个等式，得到 。而 可以是任意值.
• 因此， 的通解为：

为了方便, 我们选择 , 则 。
3. 求解

• 类似地，将已知的 和 代入方程，得到:

• 这等价于求解以下方程组:
• 从第二个等式，我们得到 。将其代入第一个等式，得到 。而 可以是任意值。
• 因此， 的通解为：

为了方便，我们选择 , 则 。

解

【解】(1) 令 ,由于 ,因此 .
解方程组 ,得线性无关解向量 ;
解方程组 ,得线性无关解向量 ;
解方程组 ,得线性无关解向量 .
故 ,可逆,且使得 .
( 2 ) 若存在 满足 ,则可交换矩阵AB=BA

即

整理得

令各元素对应相等, 故

由 ,即

由 ,矛盾,可知不存在 3 阶矩阵 ,使得 .