例1.7

例1.7

题目

Q:P14 设 为 矩阵, 为 矩阵,若 的每行元素之和均为 不可逆,求 .

分析

A:行和相等的矩阵和特征值有密切联系，这和解特征向量的那个方程的形式是一致的，这也就通过定义来得到了一个特证值和特征向量，
另一方面描述矩阵的逆是不可逆的，这往往也带着一个特征值的方程可以解出来
最后要积累的是可交换矩阵AB=BA这种结构中的隐含的信息，也就是西尔维斯特定理，有一个特征值是，因为这长成了定义的样子，说明也有一个

解

由题意 的每行元素之和均为1，所以可以构造矩阵 ，因此可以得到 的一个特征值为 。
又因为,且为矩阵，所以可以得到的另外两个特征值分别为2和3。
根据 不可逆，可以得到 有一个特征值为，进而得到 有一个特征值为，又因为矩阵和矩阵, 若有特征值, 则也有特征值,所以的特征值为
所以的特征值为,所以